「こんなん思いつかへんわ」 - 数学キノシタの家庭教師な日々

12月12日に書きました「2度解く!!平面幾何　図形と計量」（旺文社）で、平面図形の勉強を進めています。

で、次の問題（問題⑩）をしていて生徒さんから「こんなん思いつかへんわ」と不満の声が…(^^;)

問題は
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3点Ａ、Ｂ、Ｃを頂点とする△ＡＢＣにおいて、

$2AB^2<(2+AC^2)(2+BC^2)$

が成り立つことを示せ。
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というものです。

解は
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AB=c BC=a CA=bとおくと

与式 $\Leftrightarrow$ $2c^2<(2+b^2)(2+a^2)$

また∠C=θとおくと余弦定理から

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$

このとき

$(2+b^2)(2+a^2)-2c^2$

$=(4+2a^2+2b^2+a^2b^2)-2(a^2+b^2-2ab\cos\theta)$

$=a^2b^2+4ab\cos\theta+4$

$=(ab-2)^2+4ab(1+\cos\theta)>0$ 　

(∵0゜＜θ＜180゜)

よって証明された。
..................................................
となっておりますが、
ここの
$=a^2b^2+4ab\cos\theta+4$
から
$=(ab-2)^2+4ab(1+\cos\theta)>0$ 　
への変形が思いつかないというのです。

この変形、飛躍しすぎとは思えませんが、ちょっと難しいかもしれません。

そこで、こんな別解はどうでしょうか
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三角形の辺の長さの関係に、ひとつの辺の長さは、他の2つの辺の長さの和よりは短いというのがありますね。
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