問題集や参考書の解説を読んでいて、一読しただけでは分からないことがたまにあります(^_^;)
でも、じっくり読めば「ああ、なるほど、こういうことか!」と執筆者の考えが分かります。
ところが、次の問題に対する、数研出版さんの解説は分からずじまいです(>_<)
問題は、2003年の京都大学の入試問題です。
〜〜問〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
a,b,c,dを実数とする。2次の正方行列
A=
と2次の単位行列Eに対して、
集合L(A)をL(A)={rE+sA|r,sは実数}
とする。
このとき、次の条件(*)が成立するための、a,b,c,dについての必要十分条件を求めよ。
(*) L(A)の要素Bは零行列でなければ逆行列をもつ
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
これに対して、数研出版の解答は次のようになっています。
〜〜〜〜数研出版の解〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
B=rE+sAとおくと
B=
から
Δ(B)=
条件(*)の対偶は、「Bが逆行列をもたなければBは零行列である」すなわち、「Δ(B)=0ならばB=0」である。
[1] b=c=0のとき
B=
「Δ(B)=(as+r)(ds+r)=0ならばB=0」
すなわち
as+r=0 かつ ds+r=0となる必要十分条件は、a=dである。
[2] b,cのうち少なくとも1つが0でないとき
Δ(B)=
=
「Δ(B)=0ならばB=0」となる必要十分条件は、
である。
[1][2]から、求める必要十分条件は
b=c=0,a=d または
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
恥ずかしながら、私が分からないのは[2]の
『Δ(B)=0ならばB=0」となる必要十分条件は、
である。』
の部分です。
なぜそうなのか、誰か分かる方はお教え下さい。よろしくお願いいたしますm(_ _)m
なお、この問題は、数研出版さんのこの解のような「対偶をとる」ことをしないでも、ふつうに解けるとおもいます。
機会があれば、私なりの解をお示しします。