家庭教師先でP君（高３生）から「学校の自由課題で、定積分のこんな問題が与えられたんですが、まったくどう考えていいのか分かりません」と質問されました。
提出すれば加点されるのでできれば提出したい、とのことです。
課題を見てみるとなんとなく見たことがあるような……。でも先入観なしに挑戦です。
(1)は、グラフを書いて面積の大小関係に持ち込めばなんとかなりそう。(2)はその結果を利用すれば、証明できるのではないか、と解きはじめました。
(1)は、台形の面積と長方形の面積が等しいことに気がつけば、計算はそれほどでもなく証明することができました。
(2)は(1)で証明した不等式で、a=3/2 x=1/2とすれば一丁上がり！と思って解いてみると
あれあれ〜？ 証明すべき不等式に近いですが、精度が悪いです。どこかで計算間違いをしたのかと思って計算をし直しても同じことです。
まったく違った発想で解かないといけないのかと一瞬考えましたが、(1)を使わないのは不自然です。
そこで、積分区間[1,2]を2分割して[1,3/2] と [3/2,2]にそれぞれ(1)を利用してみれば精度が上がるはず、と考えたのが次の解答です。
なんとか、うまく証明できました。
あとでわかったことですが、この自由課題は東大の入試問題で、クラスで提出できた生徒はわずかたっだそうです。
そうそう、思い出しました。昔は、分割するなんて思わず強引に
と、かなり苦し紛れに解いていましたね(^_^;)
