1次不定方程式の特解の見つけ方(続)

1次不定方程式の特解の見つけ方について、前回(2019-09-19)小さい方の係数で括り出す便利な方法をご紹介しました。

では、ユークリッドの互除法を用いる方法は知らなくていいのかと言えば、けっしてそうではありません。そもそも、ユークリッドの互除法の理解を深める応用例として1次不定方程式が取り上げられているからです。

と言うわけで、小さい方の係数で括り出す便利な方法では、ちょっとうまくいかない例をあげてみます。

223x-72y=1

小さい方の係数で括り出す方法を用いますと、
72(3x-y)+7x=1

この式から
3x-y=-3 ,   x=31
をパッと思いつける人は少ないでしょう。

やはり、教科書に書かれているようなユークリッドの互除法を利用した原則的解法は、身に付けておきたいですね。

223=72×3+7
 72=7×10+2
  7=2×3+1
したがって
1=7-2×3
 =7-(72-7×10)×3
 =7+7×30×-72×3
 =7×31-72×3
 =(223-72×3)×31-72×3
 =223×31-72×93-72×3
 =223×31-72×96
∴223×31-72×96=1
したがって、この方程式の解の一つは
x=31   ,   y=96
です。

この特解を機械的に求める方法が「センター試験必勝マニュアル数学IA 2020年受験用」(東京出版)のp130に書かれています。(ちょっと古い版には載っていません。センター受験生は新しいのを買いましょう!)

 ところで、全統マーク模試の生物で驚異の偏差値81(51873人中34位)だったN君は、次のような巧みな変形で
x=31   ,   y=96
を求めました。

【N君の解】

223x-72y=1
72(3x-y)+7x=1
70(3x-y)+2(3x-y)+7x=1
7(31x-10y)+2(3x-y)=1

ここまで来れば
31x-10y=1  ,    3x-y=-3
であることは、容易に求まります。

これを解いて
x=31  ,    y=96
ですね。

定型的な解法をなかなか身に付けてくれないN君ですが、少ない持ちネタでとことん考え抜く思考力は、将来なにかの研究畑に進んだときにきっと役立つでしょう。