どうして、内積がx成分の積+y成分の積になるの?

意地悪キノシタは、ときどき生徒に定理の証明を尋ねます。

たとえば「三平方の定理
これをサラリと証明できる子は、すくないです。。

 
ベクトルの内積を次のようにベクトルの成分で書き表せることは有名です。ベクトルの問題を解くときによく利用されますね。

f:id:eisuumanabu:20200316114737j:plain

でも、「どうして、内積がx成分の積+y成分の積になるの?」と改めて聞かれて、ちゃんと説明できる生徒は多くありません。

証明は、余弦定理をベースにして行います。

f:id:eisuumanabu:20200316154637j:plain


ところがN君、僕の質問に一瞬考えて、下のような図を描いて、cosの加法定理を使って次のように導きました。

 

f:id:eisuumanabu:20200316114826j:plain

 

f:id:eisuumanabu:20200316114847j:plain

型どおりの暗記数学ではなく、いつも自分の持ちネタだけで工夫して考え抜くN君らしい証明です。なかなかおもしろいですね!