別解を考える - 数学キノシタの家庭教師な日々

Ｋさん（私立女子中学３年生）、学校では高校１年生の数学を勉強中。

数研の教科書「数学A」の

第3章「整数の性質」第１節「約数と倍数」の問題８（p139）はこんな問題です。

....................　問題８　..............................

　　 $n$ は整数とする。次のことを証明せよ。

$n(n^2+2)$ は $3$ の倍数である。
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学校の授業での解答は、 $n$ を $3$ の余りで分類する方法でした。

................. 解　.....................................

すべての整数 $n$ は
$n=3k$ 、　 $n=3k+1$ 、　 $n=3k+2$ （ $k$ は整数）
のいずれかで表される。

ⅰ） $n=3k$ のとき
　　 $n(n^2+2)$
　= $3k(9k^2+2)$
　= $3･k(9k^2+2)$
ゆえに $3$ の倍数である。

ⅱ） $n=3k+1$ のとき
　　 $n(n^2+2)$
　= $(3k+1)((3k+1)^2+2)$
　= $(3k+1)(9k^2+6k+3)$
　= $3･(3k+1)(3k^2+2k+1)$
ゆえに $3$ の倍数である.

ⅲ） $n=3k+2$ のとき
　　 $n(n^2+2)$
　= $(3k+2)((3k+2)^2+2)$
　= $(3k+2)(9k^2+12k+6)$
　= $3･(3k+2)(3k^2+4k+2)$
ゆえに $3$ の倍数である.

ⅰ）ⅱ）ⅲ）より、 $n(n^2+2)$ は $3$ の倍数である。
...........................................................

Ｋさん、「この $3$ の余りで分類する解答ではなく、最近学んだ、
連続する２つの整数の積は $2$ の倍数になる、
連続する３つの整数の積は $6$ の倍数になる、
みたいなのを利用する解答はできるんでしょうか？」と質問してきました。
そこで、作ったのが下の別解です。

.................　キノシタの別解　........................

　 $n(n^2+2)$

= $n^3+2n$
　= $n^3-n+3n$
　= $n(n^2-1)+3n$
　= $n(n+1)(n-1)+3n$
　= $(n-1)n(n+1)+3n$

ここで　 $(n-1)n(n+1)$ は連続する３つの整数の積なので $3$ の倍数。
$3n$ も $3$ の倍数。

したがって　 $(n-1)n(n+1)+3n$ は $3$ の倍数となるので
$n(n^2+2)$ は $3$ の倍数である
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Ｋさん、自分でも考えてみたそうですが、 $n(n^2+2)$ ＝ $n^3-n+3n$ と変形することを思いつけなかった、とちょっと残念そうでした。