家庭教師の強み「どこまで教えるのか見極める」

三角形の3辺の長さがわかればその面積が求められる「ヘロンの公式」は、多くの教科書(数学Ⅰの「図形と計量」の単元)に書かれています。

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この公式の証明は良い練習問題になるので、キノシタは必ずさせます。

指導時間の余裕や生徒の能力によっては、「ヘロンの公式」の続きとして「プラーマグプタの公式」にも触れることがあります。

これは、円に内接する四角形の4辺の長さa, b, c, d がわかればその面積が求められる公式です。レベルの高い参考書には記述されています。

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 勘の良い生徒は、「ヘロンの公式」は、この「プラーマグプタの公式」において d=0 になっている場合と気付きます。

『円に内接している三角形なら「プラーマグプタの公式」の特別な場合として「ヘロンの公式」が使えるのは分かりますが、三角形が円に内接していないとヘロンの公式は使えないことになりませんか』と疑問に思う生徒もおります。

そんなときには、『そうりゃそうだね。円に内接しない三角形ってどんなのだろう?』と実際に図をいくつか描かせてみると、途中で『あっ、ぜったい三角形の外接円って存在するので、どんな三角形であろうと必ず円に内接するんだ。だからどんな三角形でもヘロンの公式は成り立つんですね』と納得してくれます。

さらに数学的関心が高い生徒には、「ところで、4辺の長さは分かっているけれど円に内接していない四角形の面積で\angle{A}+\angle{C}が与えられているときの面積は、次の式で求められますよ。この式にも名前が付いていて、「プレートシュナイダーの公式」とよばれています。証明はやはり余弦定理を使いますが、やや長くなります」と好奇心を煽ります。

............. プレートシュナイダーの公式 .....................

面積=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos^2\frac{A+C}{2}}

 \text{ただし、} s=\frac{a+b+c+d}{2}

.........................................................................................................
(この「プレートシュナイダーの公式」は、赤チャート・フォーカスゴール・数学アドバンスト(Z会)などレベルの高い参考書にも掲載されておりません。)

生徒の能力や関心に応じて、関連して考えさせる内容を細かく調節できるのが家庭教師の強みですね。