一番数学としておもしろく学べる回答(^_^)v - 数学キノシタの家庭教師な日々

ときどき、回答を寄せているYahoo知恵袋の数学で、うれしいことがありました(^-^)

それはganoga20083さんの、こんな質問でした。

∝∝∝質問∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝

因数分解お願いします。
$x^3+6x^2+11x+6$

答えは分かっていますが、過程を分かりやすく教えてください。
お願いします。
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これは、ふつう因数定理を用いて解く問題ですね。

たとえば、この問題に回答されたky7253kyさんのように
……回答…………………………………………………………

$P(x)=x^3+6x^2+11x+6$ とおきます。
$P(-1)=0$ なので
$P(x)$ は $x+1$ を因数にもちます。つまり、
$P(x)=(x+1)(x^2+bx+c)$ とおけます。
$P(x)$ は $x+1$ で割り切れるのでやってみると
$P(x)\div(x+1)=x^2+5x+6$ となり
$P(x)=(x+1)(x^2+5x+6)$
つまり
$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)$
……………………………………………………………………

このように解くのが、正統派です。

それに対して、私の回答は次のようなものでした(^_^;)
……私の回答……………………………………………………………

すでに、「因数定理」を用いての方法が解説されておられますので、お分かりになったことでしょう。
しかし、「因数定理」をもしご存じなくても、試行錯誤しながら式変形をして、因数分解できないわけではありません

$x3+6x2+11x+6$ をいろいろいじってみましょう(^_^;)
たとえば
$6x^2+11x+6$ の部分ってあやしいなぁ〜 $+11x$ が $+12x$ だったらいいのにって思いません？
そこで無理矢理
$6x^2+11x+6=6x^2+12x+6-x=6(x+1)^2-x$ としてみます。

そうすると
$x^3+6x^2+11x+6=x^3+6(x+1)^2-x=x^3-x+6(x+1)^2$
$=x(x^2-1)+6(x+1)^2=x(x+1)(x-1)+6(x+1)(x+1)$
$=(x+1)\{x(x-1)+6(x+1)\}$
$=(x+1)(x^2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)$
って因数分解できてしまいました(^_^)/

また、こんなふうにいじってみようかなとは思いませんか？
$x^3+6x^2+11x$ が $x^3+6x^2+9x$ だったらどうなんだろうと。
そこで
$x^3+6x^2+11x$ を強引に $x^3+6x^2+9x+2x$
としてしまいます(^_^;)
$x^3+6x^2+11x+6=x^3+6x^2+9x+2x+6=x(x+3)^2+2x+6$
$=x(x+3)^2+2(x+3)=(x+3)\{x(x+3)+2\}=(x+3)(x^2+3x+2)$
$=(x+1)(x+2)(x+3)$
と、これまた因数分解できてしまいました(^_^)v