1の3乗根ω(オメガ)の利用はどうでしょう

来春の大学受験を控えてIM君、数学の足腰を鍛えるため杉山義明「入試数学実力強化問題集」(駿台文庫)に着手。

 

この本の巻頭言で<本書は「暗記する」ための問題集です>と著者は言い切っています。公式・定義・定型的な技法(定石)を定着させる問題集ですね。

しかし、教科書の傍用問題集(4STEPやサクシードなど)とは趣が異なり、より入試問題を意識した構成になっています。

1-17はこんな問題です。

x^15 + x + 1x^2+x+1 で割ったときの余りを求めよ。

※ 式中 x^15 は、 x の15乗です。tex でうまく書けませんでした(>_<)

別冊の解答は次のようです。

IM君「この変形は思いつきませんよ!!」

そこでキノシタ、こんな別解を提示しました。
x^2+x+1=0 の解は、x^3=1複素数解 ωであることを利用した解答です。

................ 別解 ......................

余りは1次式以下なのでax+b (a , b は実数) と表せる。

x^15+x+1(x^2+x+1)Q(x)+ax+b ・・・①

ここで x^2+x+1=0 となる x の値を ω とすると、

①にx=ω を代入して

ω^15+ω+1(ω^2+ω+1)Q(ω)+aω+b

1+ω+1(0)Q(ω)+aω+b

 (∵ωは1の三乗根ゆえω^15=(w^3)^5=1^5=1 )

ω+2aω+b

a , b は実数なので、a=1 ,   b=2

ゆえに余りは、x+2
...........................................


IM君「この変形なら思いつきそうです!!」