来春の大学受験を控えてIM君、数学の足腰を鍛えるため杉山義明「入試数学実力強化問題集」(駿台文庫)に着手。
この本の巻頭言で<本書は「暗記する」ための問題集です>と著者は言い切っています。公式・定義・定型的な技法(定石)を定着させる問題集ですね。
しかし、教科書の傍用問題集(4STEPやサクシードなど)とは趣が異なり、より入試問題を意識した構成になっています。
1-17はこんな問題です。
を で割ったときの余りを求めよ。
※ 式中 は、 の15乗です。tex でうまく書けませんでした(>_<)
別冊の解答は次のようです。
IM君「この変形は思いつきませんよ!!」
そこでキノシタ、こんな別解を提示しました。
の解は、 の複素数解 ωであることを利用した解答です。
................ 別解 ......................
余りは1次式以下なので () と表せる。
= ・・・①
ここで となる の値を ω とすると、
①に を代入して
=
=
(∵ωは1の三乗根ゆえ )
∴ =
は実数なので、
ゆえに余りは、
...........................................
IM君「この変形なら思いつきそうです!!」