2022-10-26

キノシタ式「三角関数のグラフの描き方」（続々）

数学

前回は $y=cos$ のグラフを書いてみました。
$tan$ のグラフも、ほぼ同様です。

原理は、前回同様
$θ$ の値とそれに対応する $y$ の値を求めて、それらをプロットする、というグラフの原則に沿ったものです。

そのため、今回は３段の作業表を作成していきます。

例として、
$y=tan(\frac{θ}{2}-\frac{π}{3})$
のグラフを考えましょう。

まず、1ステップで
角（ $\frac{θ}{2}-\frac{π}{3}$ ）が

$-\frac{π}{2}$ , $-\frac{π}{4}$ , $0$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{2}$ , $\frac{3π}{4}$ , $π$ 、と　 $\frac{π}{4}$ 刻みの表を書きます。

2ステップで、それに対応する $θ$ の値を書き込みます。

ここは、簡単な計算をする必要があります。（ $θ$ の値は等差数列なりますよ）

3ステップで、
$y=tan(\frac{θ}{2}-\frac{π}{3})$
の値を書き込みます。

この値は、必ず $0$ , $1$ , $-1$ か、漸近線（不連続）になりますね。

そして、この作業表の一番上の $θ$ の値と、
一番下の $y=tan(\frac{θ}{2}-\frac{π}{3})$ の値の点をとって、
タンジェントのグラフらしく、書けばできあがりです。

なお、 $y=tan(\frac{θ}{2}-\frac{π}{3})$ と y 軸との交点（ $(0 , -\sqrt{3}$ )

(∵ $y=tan(\frac{0}{2}-\frac{π}{3})$ ＝ $tan(-\frac{π}{3})$ = $-\sqrt{3}$ ）は記入しておくべきです。

表作成の２ステップ目が、計算をする手間がかかります。でも三角方程式を解くよい練習になるのでがんばってください。等差数列になるはずだと思って、チェックするとよいでしょう。

2022-10-20

明石に小遠足

日々のあれこれ

@niftyのパソコン通信時代からの友人TAKESANが、膝の手術をして先日回復。快気祝いを名目に、「一杯やろう」ということになりました。

あてにしていた、明石駅構内にあるTAKESANご贔屓の「すし道場」は、なんとお休み。駅近くにある「杉玉」へ。初めてのお店です。

TAKESANは日本酒、私はノンアルコールビールで乾杯。

手術は、膝を切ってではなく、内視鏡的な手法で簡単にすんだそうです。とはいえ、まだしばらくは趣味の社交ダンスをしないように言われていて、ちょっと残念そうです。

あれこれしゃべって、そろそろ神戸に帰ろうと思っていたら、天気もいいし「明石公園」に行こう、とお誘い。

行ってみると、緑がきれい。空気も爽やか。広い公園内を歩き回って、池の畔でしばし休憩。青い秋空に白い雲がゆっくりと流れていきます。

毎日、本かパソコンとにらめっこ。散策に誘ってもらって、良い気分転換になりました。

2022-10-17

「ＤＭＭ英会話」40000分経過

学習一般

英語に触れる時間を強制的に日常に組み込むため、しつこく続けているＤＭＭ英会話。
きょうで４万分となりました。

1回25分ですから、1600回。1日24時間でざっくり計算するとほぼ1ヶ月足らず。そのくらいで流暢に使いこなせるはずはありません。

会話のネタは、私の場合、毎回「Daily News」を選んでいます。
ジャンルは、Science & Technology、Culture & Entertainment、Economy & Business、Health、Language & Educationと幅広く、これら以外に各地域ごとの記事もあって盛りだくさん、興味のある話題を選んでいます。

日本の新聞･ＴＶや雑誌では見られない内容もあって、おもしろいです。

英語がどれほど進歩しているか心もとないですが、知らないことを知ることができるだけでも、続けている意味はあります。

2022-10-11

キノシタ式「三角関数のグラフの描き方」（続）

数学

原理はシンプルなんです。
$θ$ の値とそれに対応する $y$ の値を求めて、それらをプロットする、というグラフの原則に沿ったものです。

そのための4段の作業表を作成していきます。

例として、前回の青チャートの問題
$y=2cos(\frac{θ}{2}-\frac{π}{6})$
を考えましょう。

まず、1ステップで
$\frac{θ}{2}-\frac{π}{6}$
が
$-\frac{1}{2}π$ 、 $0$ 、 $\frac{1}{2}π$ 、 $π$ 、 $\frac{3}{2}π$ 、 $2π$
となる、表を書きます。

2ステップで、それに対応する $θ$ の値を書き込みます。
ここは、簡単な計算をする必要があります。（ $θ$ の値は等差数列なりますよ）

3ステップで、
$cos(\frac{θ}{2}-\frac{π}{6})$
の値を書き込みます。

$\frac{θ}{2}-\frac{π}{6}$ は、

$-\frac{1}{2}π$ 、 $0$ 、 $\frac{1}{2}π$ 、 $π$ 、 $\frac{3}{2}π$ 、 $2π$
ですから

$cos(\frac{θ}{2}-\frac{π}{6})$ の値は、必ず 0 か、1か、-1 のどれかですよ。

最後の 4ステップで、3ステップの値を2倍した値を最下段に記入すれば、全4段の作業表は完成です。

あとは、この作業表の一番上の $θ$ の値と、一番下の $y=2cos(\frac{θ}{2}-\frac{π}{6})$ の値の点をとって、

それら 6つの点をなめらかな曲線でつなげれば、できあがりです。

なお、 $y$ 軸との交点（ $y=2cos(\frac{0}{2}-\frac{π}{6})=\sqrt{3}$ ）は記入しておくべきです。

表作成は、馴れれば機械的で簡単ですし、グラフは1本だけでごちゃごちゃせずスッキリ描けると思います。

2022-10-07

キノシタ式「三角関数のグラフの描き方」

数学

三角関数のグラフを取り上げます。
シンプルな
$y=sinθ$ や $y=cosθ$ は、それぞれの $θ=0$ 、 $θ=-\frac{1}{2}π$ 、 $θ=π$ などの値がパッと思い浮かべばすぐ描けますね。

$y=tanθ$ も　 $θ=\frac{1}{4}π$ で 1、 $θ=-\frac{1}{4}π$ で -1 になり、 $θ=0$ で 0 。 $θ=\frac{1}{2}π$ や $θ=-\frac{1}{2}π$ が漸近線、などに着目して描けるでしょう。

続いて
$y=sin(θ-\frac{1}{2}π)$
のグラフは、教科書や参考書は
＜ $θ$ 軸方向に、 $y=sinθ$ のグラフを $\frac{1}{2}π$ 平行移動します＞
と説明してます。

でも、さらに複雑な三角関数のグラフになると、横に延ばしたり、あるいは縮めたり、あれこれグラフがぐちゃぐちゃになってうまく描けないことが生じます。

三角関数で、生徒からの質問が多いのは、このグラフの作図に関するものです。

たとえば、「青チャート数学Ⅱ」の基本例題にある
$y=2cos(\frac{θ}{2}-\frac{π}{6})$
のグラフです。

青チャートの方針は
１） $y=cosθ$ のグラフを $y$ 軸方向に 2倍に拡大
２）これを $θ$ 軸方向に 2倍に拡大
３）さらに $θ$ 軸方向に $\frac{π}{3}$ だけ平行移動
です。

この方法ですと、上の解答欄のようにグラフが４つも混ざってしまい、ぐちゃぐちゃになって途中でミスも発生しがちです。

採点者（←私のようなズボラな）は、 $θ$ 軸との共有点、最大値や最大値とそのときの $θ$ の値しか見てませんから、そこを逆手にとってグラフを書こうというのがキノシタ式です。

次回は、その方法をお伝えします。

2022-10-04

またも、お誕生日がやってきた！　

日々のあれこれ

またも、お誕生日がやってきた！　
ちょっと前にお誕生日だったような気がするのになぁ、、、、

1年に数回、お誕生日やってる感があります。

じつは、いつもバースディケーキをお願いしている芦屋の [plein] は月火が定休日なので、日曜日にもうケーキでお祝いしてしまいました。

なので、きょうはいつも通りのお仕事。

生徒さんに「きょうは誕生日なんですよ」というと「わぁ、天使の日にお誕生日だなんて！おめでとうございます！」と言われてびっくり。10月4日は、天使の日なんだそうです。知りませんでした。

また、孫のみならず、昔からのお友だちからもお祝いメッセージをいただいて、とってもhappy！

73歳と言えば、りっぱなおじいさん。

南伸坊さんは「おじいさんになったね」の最後にこんなことを書いています。

おじいさんになったね (だいわ文庫)

作者:南伸坊
大和書房

Amazon

............... 引用 .....................

老人は不機嫌なもの、と昔からずっと思っていた。
「面白いことなんて何にもねえやい！」
って顔をしてるのが老人だと思っていた。
老人になれば、体のあちこちに不具合が出てくるし、毎日アチコチ痛かったら、いつもにこにこ笑ってなんぞいられない。

ところが、最近の医学的研究によると「不機嫌は短命につながる」らしい。

だから長命で不機嫌だった老人は、実はゴキゲンにしてればさらなる長寿と健康を保てたかもしれないのだった。

超高齢者には、さまざまな障害をもちながらゴキゲンに暮らす人が多いという。百歳を超える老人というのは、一九五〇年代には、日本中で百人くらいだったものが、平成に入ると急増して、五万人に迫っているらしい。

いま、こういう人々が、医学的研究の対象となっているそうで、なるほどご長寿といっても、寝たきりの、しかも苦虫をかみつぶしたまんまの不機嫌な長寿が、爆発的にふえたんでは、全然めでたくない。

いつもにこにこゴキゲンで、まわりの人に感謝して、たのしく生きてる老人がふえていくなら、こんなにゴキゲンなことはないわけで、こういう研究はどんどんすすめてもらいたい。

..........................................

わたしも、感謝を忘れず、いつも機嫌のいい楽しい老人でありたいものです。

2022-10-01

精道中学「学び家」で１次関数のグラフをお手伝い

数学

我が母校、芦屋市立精道中学校のテスト前勉強会「学び家」の学習ボランティアに行ってきました。

中間考査、目の前なのに、テスト範囲がよく分かっていない生徒、テストの時間割を知らない生徒。われわれの頃とちっとも変わっていませんね。

2年生の数学は、1次関数が範囲。グラフを書くのに、もたつく後輩が目につきます。

$x+2y=6$ のグラフがすんなり書けません。
この式を変形して
$2y=-x+6$
そして
$y=-\frac{1}{2}x+3$
のかたちにして
$y$ 切片の (0 , 3) に点を書いて、つぎに傾き $-\frac{1}{2}$ になるように、右に2進んで下に1下がる点を順番に印を付けています。

頭の中に1次関数 $y=ax+b$ がたたき込まれていて、形式的・機械的にグラフを書いているのでは、と疑念が湧いてきます。

「どうして、このグラフは $y$ 軸との交点が 3 になるのかな？」と質問すると、
「それは、 $y=ax+b$ という式の $b$ のところが 3 になっているからです」
「なるほど。じゃあなんで、 $y$ 軸との交点は $b$ になるんでしょうね？」と、さらに問うと
「う～ん？それは知らないです」