須磨学園高校のＮ先生へ

Ｙ君（須磨学園高校1年）が学校の課題として、次のような問題を持ってきました。

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（１）（２）はグラフを書いて考えれば、うまく解くことができます。
ところが（３）は簡単そうで、ちょっとくせ者。

グラフで考えると｜β｜が｜α｜よりも大きいことは予想できますが、説明は「グラフより明らか」では×です。

したがって、2つの実数解の和 α＋β の正負を求めるか、軸の方程式の正負を求めるか、ということになります。

どっちの解法でも、a^2+a+\frac{1}{a} ＞0を証明しなくてはなりません。

須磨学園のＮ先生は、a^2+a と \frac{1}{a} とに分けて証明しておられます。
この考えに至るまでに「とても苦労しました」と解答プリントに記されていますが、そのとおり、簡単そうで意外にやっかいです。

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「簡単な方法があれば教えてください」と、生徒にうまい別解を募っておられます。（←こんなふうに生徒に問いかけるなんて、実にいい先生です！）

キノシタは、あんまりスマートではないかもしれませんが、以下のような別解を思い付きました。

  a^2 を
  \frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}
と半分ずつに分けて

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a^2+a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+2a}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{1}{a} ＝ \frac{a^2+2a}{2}+\frac{a^3+2}{2a}

ここで　a ＜ -2 なので
\frac{a^2+2a}{2}=\frac{a(a+2)}{2} ＞0
\frac{a^3+2}{2a} ＞0

∴a^2+a+\frac{1}{a} ＞0

したがって、二次関数y=f(x)のグラフの軸がx＞0にあるので
｜β｜＞｜α｜

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この別解、Ｎ先生はどう評価されるでしょうか？