7月8日の宿題ができました(^_^;)

数学

7月8日に、2003年京都大学の入試問題の数研出版の解（←対偶を利用）がよく分からないと申しました(^_^;)　

僕の解はつぎのようになります。

行列Aが単位行列の実数倍のときと、そうでないときに場合分けして考えることにします。


（１）　A＝kEのとき（Eは単位行列、kは実数）

\(\array{\\{a}\quad{b}\\{c}\quad{d}}\)=k\(\array{\\{1}\quad{0}\\{0}\quad{1}}\)=\(\array{\\{k}\quad{0}\\{0}\quad{k}}\)
したがって
a＝d＝k 、b＝c＝0

ゆえに
L(A)＝{rE+skE}={(r+sk)E}
これは零行列でなければ、逆行列E/(r+sk)をもつ。


（２） A≠kEのとき
B＝rE+sAが零行列になるのは、r＝s＝0のとき。
よって、B＝rE+sAが零行列にならないのは、rとsが同時に0にならないとき。
このときにdetB≠0となるための条件を求めればよい。

B＝\(\array{\\{r+sa}\quad{sb}\\{sc}\quad{r+sd}}\)
なので
detB＝r^2+(a+d)sr+(ad-bc)s^2……(イ)


rとsが同時に0にならないときは、つぎの3通り。

1) r＝0のとき　(s≠0だから)
(ad-bc)s^2≠0　となるのは
(ad-bc)≠0のとき……(ロ)


2) s＝0のとき　(r≠0だから)
r^2≠0は成り立つ。


3)r≠0、s≠0のとき
(イ)をs^2で割って\frac{r}{s}＝xとすると、
x^2+(a+d)x+ad-bc≠0
であるための条件は
(a+d)^2-4(ad-bc)<0
∴(a-d)^2+4bc<0
これは(ロ)も満たしている。


以上まとめると、求める条件は、
『a＝d　かつ　b＝c＝0』または『(a-d)^2+4bc)<0』
である。